これは、主にプロバイダが導入をしている「OP25B(Outbound Port 25 Blocking)」という仕組みによる原因であることが十中八九当てはまります。

ものすごく簡単いうと「迷惑メールを減らすための仕組み(詳しくはこちらを参照)」であるわけですが、これを実施すると、このれまでの設定ではご利用のプロバイダ以外のメールアドレスによるメールの送信ができなくなってしまいます。
個人の場合はメールアドレスはプロバイダのメールアドレスを使うことが多いため問題は発生しないのですが、企業やホームページをお持ちの方はこれとは違うメールアドレスを使っていることも多く、この場合は設定を変更しないとメールの送信ができなくなってしまうのです。

迷惑メールのためとはいえ不正利用を防止するために正しく利用している人に影響を与えるのはどうにかならないのでしょうかね。。。。

しかもこの切替はお客様曰く「何の連絡もなく突然こんなことされても困る」（無関係の私に言われても困るのですが…）という場合がほとんどで、お客様としては青天の霹靂だったということがものすごく多いのです。。。
さすがに大手のプロバイダなどは多分メールなり、郵便なりで事前に連絡しているとは思うのですがお客様には全く伝わっていないのですね。

ではどうやって送信できるように設定をし直すかということですが、これは各プロバイダのHPに案内がある場合がほとんど。プロバイダ毎に微妙に設定が違うことなどがあるので基本的にはご利用のプロバイダのHPを確認するか、電話でサポートを受けましょう。

サポートを受けてもわからない。やっぱり送信できない。などお困りの方は最後の手段として弊社にご相談ください。
お金はかかってしまいますが担当者がご自宅等に伺い設定を代行させていただきます。

最後に参考程度に弊社のレンタルサーバーをお使いの方向けに作成されている設定方法をリンクしておきます。
もしお使いのプロバイダがわからないとか、設定方法が見つからない場合は、こちらをご覧になって設定をしてみてください。（あくまで参考として）
・メールが受信できるのに送信できません